题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的焦点在
轴上，点
为坐标原点，射线
、
分别与椭圆交于点
、点
，且
，试判断直线
与圆
：
的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
或
；（2）直线
与圆
：
相离.证明见解析
【解析】
（1）对椭圆的焦点位置进行分类讨论，并分别设出椭圆的标准方程，再根据离心率和椭圆过点，分别求出对应的标准方程；
（2）对点
，
分成在坐标轴上和不在坐标轴上两种情况分别求解，再利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系即可.
（1）①当椭圆
的焦点在
轴上时，设椭圆的方程为：
，
由
得
，∴
，
将点
代入可得
，
，
∴椭圆的方程为：.
②当椭圆的焦点在
轴上时，设椭圆的方程为：
，
由可得，∴
，
将点代入可得
，
，
∴椭圆的方程为：.
（2）直线与圆：相离，
由（1）知，椭圆的方程为：，
当，在坐标轴上时，容易求得直线与圆：相离；
当，不在坐标轴上时，设直线
：
，则直线
：
，
联立
，可得
，
，∴
，
联立
，可得
，
，∴
，
根据面积关系可得圆心
到直线的距离的平方
，
∴直线与圆：相离.
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