题目内容

10.定义运算“•”如下:x•y=$\left\{\begin{array}{l}{x,x≥y}\\{y,x<y}\end{array}\right.$,若函数f(x)=m-(1-2x)•(2x-2)有两个零点,则(  )
A.m∈(-$\frac{1}{2}$,+∞)B.m∈(-$\frac{1}{2}$,1)C.m∈[-$\frac{1}{2}$,+∞)D.m∈[-$\frac{1}{2}$,1)

分析 根据新定义化简函数y=(1-2x)•(2x-2)的解析式,根据指数函数的图象与图象的平移变换画出函数的图象,并求出函数的最值,把条件转化为两个函数图象的交点问题,根据图象求出m的范围.

解答 解:由题意得,y=(1-2x)•(2x-2)=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{x},{2}^{x}≤\frac{3}{2}}\\{{2}^{x}-2,{2}^{x}>\frac{3}{2}}\end{array}\right.$,
根据指数函数的图象与图象的平移变换画出上面函数的图象:
把2x=$\frac{3}{2}$代入1-2x=$-\frac{1}{2}$,
所以图象最低点的纵坐标是:$-\frac{1}{2}$,
因为f(x)=m-(1-2x)•(2x-2)有两个零点,
所以y=m与y=(1-2x)•(2x-2)的图象有两个交点,
即m的取值范围是:($-\frac{1}{2}$,1),
故选:B.

点评 本题考查函数零点的转化问题,指数函数的图象与图象的平移,考查数形结合思想和转化思想,属于中档题.

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