Question

【题目】【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.

(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；

(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(Ⅰ)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a)

所以g'(x)＝2－

当x∈(0，1)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减

当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增

(Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx

令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx

则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0

于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0

令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)

由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增

故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1

即a0∈(0，1)

当a＝a0时，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0

再由(Ⅰ)知，f '(x)在区间(1，＋∞)上单调递增

当x∈(1，x0)时，f '(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0

当x∈(x0，＋∞)时，f '(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0

又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0

故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0

综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.