题目内容
已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
两点，且以
为直径的圆过椭圆的右顶点
，
求
面积的最大值．
的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆
的方程；（Ⅱ）设直线
与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求
面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以
， ……………1分
又椭圆的离心率为，即
，所以
， ………………2分
所以
，
. ………………4分
所以
，椭圆的方程为
. ………………5分
（Ⅱ）方法一：不妨设
的方程
，则
的方程为
.
由
得
， ………………6分
设
，
，
因为
，所以
， ………………7分
同理可得
， ………………8分
所以
，
， ………………10分
， ………………12分
设
，
则
， ………………13分
当且仅当
时取等号，
所以面积的最大值为
. ………………14分
方法二：不妨设直线的方程
.
由
消去
得
， ………………6分
设，，
则有
，
. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点，所以
.
由
，
得
. ………………8分
将
代入上式，
得
.
将 ① 代入上式，解得
或
（舍）. ………………10分
所以（此时直线经过定点
，与椭圆有两个交点），
所以
. ……………12分
设
，
则
.
所以当
时，
取得最大值. ……………14分
上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以
， ……………1分又椭圆的离心率为
，即，所以， ………………2分所以
，. ………………4分所以
，椭圆的方程为. ………………5分（Ⅱ）方法一：不妨设
的方程，则的方程为.由
得， ………………6分设
，，因为
，所以， ………………7分同理可得
， ………………8分所以
，， ………………10分， ………………12分设
，则
， ………………13分当且仅当
时取等号，所以
面积的最大值为. ………………14分方法二：不妨设直线
的方程.由
消去得， ………………6分设
，，则有
，. ① ………………7分因为以
为直径的圆过点，所以.由
，得
. ………………8分将
代入上式，得
.将 ① 代入上式，解得
或（舍）. ………………10分所以
（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以
. ……………12分设
，则
.所以当
时，取得最大值. ……………14分略
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的离心率为
，则双曲线
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，
，
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的夹角，求tanθ．
时,其离心率为
此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于( ) 
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上存在不同两点A、B满足
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