题目内容
【题目】已知函数.
(1)当 ,求函数
的极小值;
(2)已知函数在
处取得极值,求证:
;
(3)求函数的零点个数.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析;
【解析】
(1)当令
,解得
.即可得出函数
的单调性极值点.
(2),函数
在
处取得极值,可得
,解得:
或
时,不满足条件,舍去,因此
,即可证明
.
(3)
时,
;
时,
;
①,解得:
,此时
有两个不相等的实数根
.即函数
有两个极值点
.设
.对
与
与0的大小关系即可得出函数零点的个数.②
,解得:
或
,此时
,函数
在
上单调递增,即可得出函数
在
上零点的个数.
(1)当 ,
.
,
令,解得
,或
,
可得:函数在
上单调递增,在
上单调递减,
∴时函数
取得极小值,
。
(2) ,
∵函数在
取得极值,
∴ ,
(3) ,
,
时,
;
时,
;
①,解得:
或
,此时
有两个不相等的实数根
.即函数
有两个极值点
.设
.
时,可得:函数
在
上只有一个零点。
时,可得:函数
在
上有两个零点。
时,可得:函数
在
上有三个零点。
时,可得:函数
在
上有两个零点。
时,可得:函数
在
上只有一个零点。
② ,解得:
,此时
,函数
在
上单调递增,
时,
;
时,
;可得:函数
在
上只有一个零点。
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