题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)由题意知:取得函数的导数,分类讨论,即可求解函数的单调区间;
(2)由(1)知当和
时,不合题意; 当
时,要使得要使
有两个零点,必有
,构造新函数
,利用导数求得函数函数的单调性和最值,即可得到结论.
解:(1)由题意知:
若,即
时,
在
上单减,在
单增
若,即
时,
当时,
在
单增;
当时,
在
上单增,在
单减,在
上单增;
当时,
在
上单增,在
单减,在
上单增.
(2)由(1)知当时,
在
单增,故不可能有两个零点.
当时,
只有一个零点,不合题意.
当时,
在
上单减,在
单增,且
时,
;
时,
.
故只要,解得:
.
当时,
在
上单增,在
单减,在
上单增.
因为故
也不可能有两个零点.
当时,
在
上单增,在
单减,在
上单增
且,故要使
有两个零点,必有
由
即当时,有
因为
即在
上单增,且
时,
.
故当时,
不可能有两个零点.
综上所述:当时,
有两个零点.
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