Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n：a₁=3且S_n=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（2{a}_{n}+1）（2{a}_{n+1}+1）}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{28}$．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2•{3}^{n}+1}$-$\frac{1}{2•{3}^{n+1}+1}$），再由裂项相消求和可得T_n，由不等式的性质，即可得证．

解答 （1）解：当n=1时，a₁=S₁=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a₂=3，
解得a₂=9，
当n＞1时，S_n=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n+1．
可得S_n-1=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n．
两式相减可得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n．
即为a_n+1=3a_n，
可得a_n=9•3^n-2=3ⁿ，
对n=1也成立，
则a_n=3ⁿ；
（2）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{（2{a}_{n}+1）（2{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{3}^{n}}{（2•{3}^{n}+1）（2•{3}^{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2•{3}^{n}+1}$-$\frac{1}{2•{3}^{n+1}+1}$），
则T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{19}$+$\frac{1}{19}$-$\frac{1}{55}$+…+$\frac{1}{2•{3}^{n}+1}$-$\frac{1}{2•{3}^{n+1}+1}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{2•{3}^{n+1}+1}$）
＜$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{28}$．
故T_n＜$\frac{1}{28}$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．