Question

12．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且$\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN}$（λ＞0），定点A（-4，0），且$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\frac{106}{3}$；
（1）求椭圆C的方程；
（2）GH是过F点的弦，且当$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH的值为6$\sqrt{3}$，求出直线GH的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意设M（c，t）、N（c，-t），则t²=$\frac{1}{3}$b²，代入$\frac{106}{3}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（c+4，t）•（c+4，-t）化简可知c=2，进而可得结论；
（2）通过$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH=6$\sqrt{3}$及三角形面积公式化简可知（y₁+y₂）²-4y₁y₂=3，进而利用韦达定理计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，MN⊥x轴，
右焦点F（c，0），设M（c，t）、N（c，-t），则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，t²=$\frac{1}{3}$b²，
∴$\frac{106}{3}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（c+4，t）•（c+4，-t）
=c²+8c+16-$\frac{1}{3}$b²
=c²+8c+16-$\frac{1}{3}$（a²-c²）
=$\frac{4}{3}$c²+8c+16-$\frac{1}{3}$a²，
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即a²=$\frac{3}{2}$c²，
∴上式可化为：$\frac{5}{6}$c²+8c-$\frac{58}{3}$=0，
解得：c=2，
∴a²=6，b²=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由（1）知F（2，0），设直线GH的方程为：x=my+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：（m²+3）y²+4my-2=0，
设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$，
∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AG}$×tan∠GAH
=|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AG}$|sin∠GAH
=2S_△GAH
=6$\sqrt{3}$，
∴S_△GAH=2$\sqrt{3}$，
又∵S_△GAH=$\frac{1}{2}$|AF|•|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$，
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=3，
即（-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$）²-4（-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$）=3，
解得：m=±1，
∴直线GH的方程为：x-y-2=0或x+y-2=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．