题目内容

10.在△ABC中,若|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{3}$,且$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=$\overrightarrow{AC}$•sinB  
(1)求角B的大小;
(2)求△ABC的面积S.

分析 (1)根据向量的基本运算将条件进行化简即可求角B的大小;
(2)根据正弦定理求出|$\overrightarrow{BC}$|的长度即可求△ABC的面积S.

解答 解:(1)由题可知:在△ABC中,?|$\overrightarrow{AC}$|=2$\sqrt{3}$,
$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=$\overrightarrow{AC}$•sinB  
因为$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
所以$\overrightarrow{BC}$•cosA+$\overrightarrow{AB}$•cosC=($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$)•sinB=$\overrightarrow{AB}$•sinB+$\overrightarrow{BC}$•sinB,
即(cosC-sinB)•$\overrightarrow{AB}$+(cosA-sinB)•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$,
而$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$是两不共线向量,
∴cosC-sinB=0,cosA-sinB=0,
则cosC=cosA=sinB
∵0<A,C<π,
∴A=C,△ABC 为等腰三角形.
在等腰△ABC中,A+B+C=π,
∴2A+B=π,A=$\frac{π}{2}$-$\frac{B}{2}$;
由上知:cosA=cos( $\frac{π}{2}$-$\frac{B}{2}$)=sin$\frac{B}{2}$=sinB,
∴sin$\frac{B}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$,
∴cos $\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$,0<$\frac{B}{2}$<$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{B}{2}$=$\frac{π}{3}$,B=$\frac{2π}{3}$.
(2)由(1)知:则A=C=$\frac{π}{6}$,由正弦定理得:$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin\frac{2π}{3}}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{sin\frac{π}{6}}$,
即$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{\frac{1}{2}}$,则|$\overrightarrow{BC}$|=2,
则S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{BC}$|sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查三角形面积的计算,根据条件结合向量的加法法则进行化简,以及利用正弦定理是解决本题的关键.

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