题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数的最小值为2,求
的值;
(2)当时,证明:
.
【答案】(1).(2)见解析
【解析】
(1)由题可知,的定义城为
,且
,分类讨论参数,当
和当
,利用导数研究函数的单调性和最值,得出当
时,
,
取得最小值
,结合已知
的最小值为2,即可求出
的值;
(2)当,结合第(1)可知
,将证明
转化为只要证
,构造新函数
,通过导数研究函数的单调性,进而得出当
时,
,即
,即可证明出
.
解:(1)的定义城为
,
且,
函数
的最小值为2,
若,则
,于是
在
上单调递增,
故无最小值,不合题意,
若,则当
时,
;当
时,
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
于是当时,
,
取得最小值
,
由已知得,解得
.
综上可知.
(2)∵由(1)得,当时,
取得最小值
,
所以当时,
取得最小值
,即
,
则,即:
,
由题知,当时,证明:
,
∴要证,只要证
,
∴令,则
,
∴当时,
,
所以在
上单调递增.
∴当时,
,即
,
∴当时,不等式
成立.
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