题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率为
,点
分别为椭圆
与坐标轴的交点,且
.过
轴上定点
的直线与椭圆
交于
,
两点,点
为线段
的中点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由题设知椭圆的离心率和的关系,结合
,求得
的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)分直线MN的斜率为0和不为0两种情况讨论,设直线MN的方程与椭圆的方程联立,结合根与系数的关系,求得点Q的坐标,得出点Q到AB的距离,求得面积的表达式,利用基本不等式,即可求解.
(1)由题意,椭圆的离心率为
,所以
,
其中,
,
由,得
.
又由,得
,
,
,
所以椭圆的标准方程为
.
(2)直线的方程为
,
①当直线的斜率
时,直线过点
交椭圆于左右顶点,则中点为坐标原点
,此时
,
②当直线的斜率
时,设直线的方程为
,
联立方程组,得
,∴点
为
,
∴点到直线
的距离
为
,
∵点在直线
的下方,即
,
∴,
∴,
设,令
,则
,
当时,
,
当时,
,
当且仅当,即
时等号成立,此时
,
当时,
,此时
,
综上所述,的最大值为
.

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