题目内容
【题目】已知,函数
.
(1)求证:曲线在点
处的切线过定点;
(2)若是
在区间
上的极大值,但不是最大值,求实数
的取值范围;
(3)求证:对任意给定的正数 ,总存在
,使得
在
上为单调函数.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出切点坐标及切线方程,切线恒过定点即与参数无关,令系数为
,可得定点坐标;(2)
,要使
成为极大值,因此
,又
不是最大值,而
在
单增,
单减,
单增,因此
,可求得
的范围;(3)
在
单增,
单减,
单增,又
,所以要使
在
单调,只需
,即
,故存在.
试题解析:解:(1)证明:∵,∴
∵,∴曲线
在点
处的切线方程为
,
即,令
,则
,
故曲线在点
处的切线过定点
(2)解:,
令得
或
∵是
在区间
上的极大值,∴
,∴
令,得
或
递增;令
,得
递减,
∵不是
在区间
上的最大值,
∴在区间
上的最大值为
,
∴,∴
,又
,∴
(3)证明:,
∵,∴
令,得
或
递增;令
,得
递减,
∵,∴
若在
上为单调函数,则
,即
故对任意给定的正数,总存在
(其中
),使得
在
上为单调函数
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【题目】第十二届全国人民代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议(简称两会)分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕,某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况,随机调查了该校200名学生,并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类,已知这200名学生中男生比女生多20人,对两会“比较关注”的学生中男生人数比女生人数之比为,对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人.
(Ⅰ)根据题意建立的列联表,并判断是否有
的把握认为男生与女生对两会的关注有差异?
(Ⅱ)该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样,从中抽取7人,再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动,求这2人全是男生的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
.