题目内容
16.设函数f(x)=x2-1,对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$,$f(\frac{x}{m})-4{m^2}f(x)≤f(x-1)+4f(m)$恒成立,则实数m的取值范围是(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞).分析 先把原不等式整理后转化为($\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1)x2+2x+3≤0,即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$恒成立.再利用配方,运用单调性,即可得到右边函数的最小值,解不等式即可得到m的范围.
解答 解:不等式$f(\frac{x}{m})-4{m^2}f(x)≤f(x-1)+4f(m)$,
整理得($\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1)x2+2x+3≤0,
即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$恒成立.
令g(x)=$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$=-3($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$)2+$\frac{1}{3}$,
由$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$,可得$\frac{1}{x}$∈[-$\frac{4}{3}$,-$\frac{2}{3}$],
由二次函数的性质可得x=-$\frac{4}{3}$取得最小值,
且为g(-$\frac{4}{3}$)=-$\frac{8}{3}$,
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤-$\frac{8}{3}$,
解得m2≥$\frac{3}{4}$,
即有m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故答案为:(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞).
点评 本题主要考查函数的恒成立问题.注意运用参数分离和运用函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.
A. | (-7,+∞) | B. | (-7,$\frac{1}{2}}$)∪(${\frac{1}{2}$,+∞) | C. | [-7,+∞) | D. | [-7,$\frac{1}{2}}$)∪(${\frac{1}{2}$,+∞) |
A. | 1-$\frac{2}{3}$ e | B. | 1+$\frac{2}{3}$e | C. | $\frac{2}{3}$e | D. | 1 |
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位采用1期付款的概率;
(2)求η的分布列及期望E(η).