题目内容

16.设函数f(x)=x2-1,对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$,$f(\frac{x}{m})-4{m^2}f(x)≤f(x-1)+4f(m)$恒成立,则实数m的取值范围是(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞).

分析 先把原不等式整理后转化为($\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1)x2+2x+3≤0,即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$恒成立.再利用配方,运用单调性,即可得到右边函数的最小值,解不等式即可得到m的范围.

解答 解:不等式$f(\frac{x}{m})-4{m^2}f(x)≤f(x-1)+4f(m)$,
整理得($\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1)x2+2x+3≤0,
即为$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$对任意$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$恒成立.
令g(x)=$\frac{-2x-3}{{x}^{2}}$=-3($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{3}$)2+$\frac{1}{3}$,
由$x∈[-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}]$,可得$\frac{1}{x}$∈[-$\frac{4}{3}$,-$\frac{2}{3}$],
由二次函数的性质可得x=-$\frac{4}{3}$取得最小值,
且为g(-$\frac{4}{3}$)=-$\frac{8}{3}$,
即有$\frac{1}{{m}^{2}}$-4m2-1≤-$\frac{8}{3}$,
解得m2≥$\frac{3}{4}$,
即有m≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或m≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
故答案为:(-∞,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$,+∞).

点评 本题主要考查函数的恒成立问题.注意运用参数分离和运用函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.

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