Question

17．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，不等式f（x）＜2x的解集是（-1，2），且方程f（x）+$\frac{9}{4}$a=0有两个相等的实数根．
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知不等式f（x）＜0的解集为M，不等式f（x）＞2（m+1）x-m²-m-2的解集为N，若M∪N=N，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，结合已知，利用“3个二次”的关系即可得出f（x）的解析式；
（2）根据（1）解出M，结合M∪N=N，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2），
∴f（-1）+2=0，f（2）-4=0，且a＞0．
又方程f（x）+$\frac{9}{4}$a=0有两个相等的实数根，即ax²+bx+c+$\frac{9}{4}$a=0的△=b²-4ac-9a²=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}a-b+c+2=0\\ 4a+2b+c-4=0\\{b}^{2}-4ac-9{a}^{2}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\ c=-2\end{array}\right.$．
∴f（x）=x²+x-2．
（2）由（1）得f（x）=x²+x-2＜0的解集M=（-2，1），
若不等式f（x）＞2（m+1）x-m²-m-2的解集为N，
则不等式x²-（2m+1）x+m²+m＞0的解集为N，
即N=（-∞，m）∪（m+1，+∞），
∵M∪N=N，
∴M⊆N，
故m≥1，或m+1≤-2，
故实数m∈（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．