题目内容
【题目】已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.
(1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；
(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明：∵函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，
∴b＝0，
∴f(x)＝x2，
∴an＋1＝2(an－1)2＋1，
∴an＋1－1＝2(an－1)2，
∴
＝
＝
＝2.
∵a1＝3，
∴b1＝log22＝1，
∴bn＋1＝2n.
即bn＝2n－1，
∴数列{bn＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列.
(2)解：由题意得cn＝n2n－n.
设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
设Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝
，
∴2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.
∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝
－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，
∴An＝(n－1)2n＋1＋2.
∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.
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