题目内容
【题目】已知,
.
(1)当时,
为增函数,求实数
的取值范围;
(2)设函数,若不等式
对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)作差,求导,利用导函数非负恒成立转化为不等式恒成立问题,再分离参数,将问题转化为利用导数研究函数的最值问题;(2)作差构造函数,求导,利用导函数的符号变换确定导数的单调性和最值.
试题解析:(1)∵,∴
.
∵时
为增函数,∴
对
恒成立,即
.
令,
,则
,令
解得
.
∴在
单减;
单增,∵
,
,∴
.
(2)∵对
恒成立,令
得
,
令,则
,
,则
,
令,则
,
则在
单增,
单减;
,故
对
恒成立.
∴在
单减,∵
,无论
在
有无零点,
在
上的最小值只可能为
或
,
要恒成立,∴
且
,∴
.
法二: ,即
,令
,
,
令得
,∴
在
单增;
单减,
又∵有唯一零点
,所以可作出函数
的示意图,
要满足对
恒成立,只需
解得
.

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