题目内容
3．求函数y=$\frac{{5x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$的最大、最小值．分析 化简y=$\frac{{5x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$=5+$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$，由基本不等式及讨论可得-4≤$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$≤4，从而求函数的最大值与最小值．
解答 解：y=$\frac{{5x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$=5+$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$，
当x=0时，$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$=0，
当x＜0时，$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$，
-4≤$\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$＜0；
当x＞0时，$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$，
0＜$\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$≤4；
综上所述，-4≤$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$≤4，
故1≤$\frac{8x}{{x}^{2}+1}$+5≤9；
故函数y=$\frac{{5x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$的最大值为9、最小值为1．
点评 本题考查了函数的化简应用与函数的最值的求法，属于中档题．
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