Question

18．已知函数f（x）是R奇函数，在（0，+∞）是增函数且f（1）=0，则f（log₂a）＞0的a的取值范围是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞2
• B． 0$＜a＜\frac{1}{2}$
• C． 0$＜a＜\frac{1}{2}$或a＞2
• D． a＞2

Answer 1

分析 根据奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，可知函数f（x）在（-∞，0）上的单调性和零点，从而把不等式f（log₂a）＞0利用函数的单调性转化为自变量不等式．

解答 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
∵f（1）=0，∴f（-1）=0
∴不等式f（log₂a）＞0等价于；
1°log₂a＞0时，f（log₂a）＞f（1）
∴log₂a＞1，∴a＞2；
2°log₂a＜0时，f（log₂a）＞f（-1）
∴-1＜log₂a＜0，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1；
综上x取值范围是$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞2．
故选：A．

点评 考查函数的奇偶性和单调性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法，和分类讨论的思想，属中档题．