Question

17．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R²”，猜想关于球的相应命题为（　　）

• A． 半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为2R³
• B． 半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为3R³
• C． 半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$R³
• D． 半径为R的球的内接六面体中，以正方体的体积为最大，最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{9}$R³

Answer 1

分析 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；故由：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”，类比到空间可得的结论是表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大．

解答 解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，
一般为：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；
由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；
由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；
故由：“周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”，
类比到空间可得的结论是：
“半径为R的球的内接长方体中以正方体的体积为最大，最大值为$\frac{8\sqrt{3}}{9}$R³．”
故选：D．

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．