Question

已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程。
（1）求函数的解析式；   
（2）求函数与的图像有三个交点，求的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）

试题分析：（1）将点代入函数解析式可得的值，将代入直线可得的值，再由切线方程可知切线的斜率为6，由导数的几何意义可知即，解由和组成的方程组可得的值。（2）可将问题转化为有三个不等的实根问题，将整理变形可得，令，则的图像与图像有三个交点。然后对函数求导，令导数等于0求其根。讨论导数的符号，导数正得增区间，导数负得减区间，根据函数的单调性得函数的极值，数形结合分析可得出的取值范围。
（1）由的图象经过点，知。
所以，则 
由在处的切线方程是知，即。所以即解得。 
故所求的解析式是。    
（2）因为函数与 的图像有三个交点
所以有三个根 
即有三个根
令，则的图像与图像有三个交点。 
接下来求的极大值与极小值（表略）。
的极大值为 的极小值为 
因此