题目内容
【题目】如图，在多面体
中，四边形
为直角梯形，
，
，四边形
为矩形，平面
平面，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先根据线面垂直的判定定理，得到
平面
，根据题意，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.表示出
，求两向量的数量积，从而可判断出结果；
（2）根据（1）的坐标系，分别求出平面与平面
的法向量，求出两向量夹角，从而可得出结果.
（1）证明：
平面
平面，平面
平面
，
，
平面
，
平面；
又
，
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
由已知得
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
；
（2）设平面的一个法向量
，则
所以，
令
，得
，则
又平面，故取平面的一个法向量
由图可知，二面角
的余弦值为.
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