题目内容
【题目】设函数 ,,已知有三个互不相等的零点,且.
(Ⅰ)若.(ⅰ)讨论的单调区间;(ⅱ)对任意的,都有成立,求的取值范围;
(Ⅱ)若且,设函数在,处的切线分别为直线,,是直线,的交点,求的取值范围.
【答案】(I)(ⅰ)见解析,(ⅱ);(II)
【解析】
(Ⅰ)(ⅰ)先化简条件 得 ,再求导数,根据导函数零点大小分类讨论,结合导函数符号确定单调性,(ⅱ)根据单调性确定函数最大值,再解不等式得结果,(Ⅱ)先化简,再求导数得切线斜率,根据点斜式得切线方程,求直线交点得,再根据零点条件确定自变量取值范围,利用导数求其单调性,根据单调性确定取值范围.
(I) (ⅰ) ,
,,
当时,在,单调递增,在单调递减
当时,在,单调递增,在单调递减
(ⅱ)由(ⅰ)知当时,在,单调递增,在单调递减
当时,在,单调递增,在单调递减
不成立 ,综上
(II)令则或,
令,则有两个零点为且
又对称轴为 ,且
,设的斜率分别为
与的直线方程联立求得:
令 , 在恒成立,
在上单调递减, 而