题目内容

【题目】设函数 ,已知有三个互不相等的零点,且.

(Ⅰ)若.(ⅰ)讨论的单调区间;(ⅱ)对任意的,都有成立,求的取值范围;

(Ⅱ)若,设函数处的切线分别为直线是直线的交点,求的取值范围.

【答案】(I)(ⅰ)见解析,(ⅱ);(II)

【解析】

(Ⅰ)(ⅰ)先化简条件 ,再求导数,根据导函数零点大小分类讨论,结合导函数符号确定单调性,(ⅱ)根据单调性确定函数最大值,再解不等式得结果,(Ⅱ)先化简,再求导数得切线斜率,根据点斜式得切线方程,求直线交点得,再根据零点条件确定自变量取值范围,利用导数求其单调性,根据单调性确定取值范围.

(I) (ⅰ)

,,

时,单调递增,在单调递减

时,单调递增,在单调递减

(ⅱ)由(ⅰ)知当时,单调递增,在单调递减

时,单调递增,在单调递减

不成立 ,综上

(II)令

,则有两个零点为

对称轴为 ,且

,设的斜率分别为

的直线方程联立求得:

恒成立,

上单调递减, 而

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