Question

【题目】已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于，两点（，不是椭圆的顶点），探究直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 恒过定点，见解析

【解析】

（1）由题得，，解方程组即得椭圆的方程；（2）设的方程为，的方程为，当斜率存在时，的方程为，过定点，当MN的斜率不存在时，也过定点. 即得解.

（1）∵，∴，

设圆的方程为，圆心为，半径为，

设为圆心到直线的距离，

则，

∵，

∴，即，

，∵，∴.

所以椭圆的方程为.

（2）设的方程为，的方程为，

联立，可得，

整理，设，

∵不是椭圆的顶点，

∴，

代入，得，

，

联立 ，设，

∴，

带入，得，

，

①若斜率存在，

，

：

恒过.

②若斜率不存在，

的方程为，的方程为，

，，此时：，亦过，

综上，直线恒过.