题目内容
【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,及点
,且
、
、
成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率不为的动直线
过点
且与椭圆
相交于
、
两点,记
,线段
上的点
满足
,试求
(
为坐标原点)面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意可得出关于、
的方程组,可求出
、
的值,进而可求得
的值,由此可得出椭圆
的方程;
(2)解法一:设点、
、
,将点
、
的坐标代入椭圆
的方程,变形后相减可得
,再由
、
,经过向量的坐标运算求得
,由点
在椭圆
内得到
,再由三角形的面积公式可求得
面积的取值范围;
解法二:设点、
、
,由
、
,根据向量的坐标运算得出
,设直线
的方程为
,与椭圆
的方程联立,由
得出
的取值范围,由
代入韦达定理并消去
,得出
,进而得出
,再由三角形的面积公式可求得
面积的取值范围;
解法三:设直线的方程为
,与椭圆
的方程联立,由
得出
的取值范围,并列出韦达定理,利用向量的线性运算可得出
,并求出原点
到直线
的距离,利用三角形的面积公式可求得
面积的取值范围.
(1)依题意,解得
,
,
所以椭圆的方程是
;
(2)解法一:
设、
、
,则
,
相减得:,
又由,知
,
,
由,知
,
,
代入式得:
,即
,
又因为点在椭圆内,所以
,
所以的面积
;
解法二:设,
,
,则
,
,
设直线的方程为
,代入椭圆
的方程得:
,由
得
,
.
所以,消去
得到
,
所以,
因此的面积
;
解法三:设直线的方程为
,代入椭圆
的方程得:
,由
得
,
.
所以,
,
,
原点到直线
的距离
,
所以的面积
,
因为,所以
.
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