题目内容
【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ),
;(Ⅲ)a≤1
【解析】
(Ⅰ)由已知得,
即, 由2b1=a1+a2=25,得b1=
, 由a22=b1b2,得b2=18,
∴{}是以
为首项,
为公差的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴,
因为,
,
成等比数列
所以.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
原式化为,
即f(n)=恒成立,
当a–1>0即a>1时,不合题意;
当a–1=0即a=1时,满足题意;
当a–1<0即a<1时,f(n)的对称轴为,f(n)单调递减,
∴只需f(1)=4a–15<0,可得a<,∴a<1;
综上,a≤1.
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