题目内容
【题目】在如图所示的几何体中，平面
平面
，四边形是菱形，四边形
是矩形，
，
，
，
是
的中点．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(II)在线段
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)连结BD，因为四边形
是菱形，
，
是
的中点，
所以
， …………2分
因为四边形
是矩形，平面
平面
且交线为
，
所以
平面，又
平面，所以
，……………4分
又
，所以
平面
．……………………6分
(Ⅱ)由
，可得
，
因为四边形是矩形，平面
平面且交线为，
，
所以
平面，以为原点，
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
设
，则
，
，
因为
平面，平面
的一个法向量为
，……8分
设平面
的法向量为
，
，即
，
取
，可得
，……10分
假设在线段
上存在点
，使二面角
的大小为
，
则
，
所以点
在线段上，符合题意的点
存在，此时
． …………12分
【命题意图】本题考查平面和平面垂直的性质定理、直线和平面垂直的判定定理、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
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