题目内容
【题目】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有,当
时,有
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并加以证明;
(3)若f(4)=2,求f(x)在[1,16]上的值域.
【答案】(1)0;(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)在恒等式中,令,即可求得
的值;(2)设
,且
,利用恒等式得到
,根据题中条件,判断
的正负,利用函数单调性的定义,即可证明函数的单调性;(3)根据(2)的结论,将值域问题转化为求最值,根据
,结合
,赋值
,
,代入即可求得
,从而求得
在
上的值.
试题解析:(1)∵当,
时,
,∴令
,则
.
(2)设,且
,则
,∵
,∴
,∴
,∴
,即
在
上是增函数.
(3)由(2)知在
上是增函数.∴
,
,∵
,由
,知
,∴
,∴
在
上的值域为
.
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