题目内容
【题目】设a为实数,记函数f(x)=a + + 的最大值为g(a).
(1)设t= + ,求t的取值范围,并把f(x)表示为t的函数m(t);
(2)求g(a);
(3)试求满足g(a)=g( )的所有实数a.
【答案】
(1)解:∵t= + ,要使t有意义,必须1+x≥0且1﹣x≥0,即﹣1≤x≤1.
∵t2=2+2 ∈[2,4],且t≥0…①,
∴t的取值范围是[ ,2].
由①得: = t2﹣1,∴m(t)=a( t2﹣1)+t= at2+t﹣a,t∈[ ,2]
(2)解:由题意知g(a)即为函数m(t)= at2+t﹣a,t∈[ ,2]的最大值,
∵直线t=﹣ 是抛物线m(t)= at2+t﹣a的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:
1°当a>0时,函数y=m(t),t∈[ ,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,
由t=﹣ <0知m(t)在t∈[ ,2]上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;
2°当a=0时,m(t)=t,在t∈[ ,2]上单调递增,有g(a)=2;
3°当a<0时,函数y=m(t),t∈[ ,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
若t=﹣ ∈(0, ]即a≤﹣ 时,g(a)=m( )= ,
若t=﹣ ∈( ,2]即a∈(﹣ ,﹣ ]时,g(a)=m(﹣ )=﹣a﹣ ,
若t=﹣ ∈(2,+∞)即a∈(﹣ ,0)时,g(a)=m(2)=a+2.
综上所述,有g(a)=
(3)解:当a>﹣ 时,g(a)=a+2> >
a∈(﹣ ,﹣ ]时,﹣a∈[ , ],﹣a≠﹣
g(a)=﹣a﹣ >2 =
∴a>﹣ 时,g(a)>
当a>0时, >0,由g(a)=g( )可得 ,∴a=1;
当a<0时,a =1,∴a≤﹣1或 ≤﹣1
∴g(a)= 或g( )=
要使g(a)=g( ),只需a≤﹣ , ≤﹣ ,∴
综上,满足g(a)=g( )的所有实数a 或a=1
【解析】(1)令t= + ,由1+x≥0且1﹣x≥0,得﹣1≤x≤1,进而得m(t)的解析式.(2)由题意知g(a)即为函数m(t)= at2+t﹣a,t∈[ ,2]的最大值,分a>0、a=0、a<0三种情况利用函数的单调性求出函数f(x)的最大值为g(a);(3)分类讨论,求得g(a)的范围,即可求得满足g(a)=g( )的所有实数a.