题目内容
【题目】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1
(2)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.
【答案】
(1)证明:(以A为原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1),
=(a,0,1), =( ,1,0), =(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1)
∵ =﹣ ×0+1×1+(﹣1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)解:连结A1D,B1C,由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴ =(0,1,1)是平面A1B1E的一个法向量,
设平面AB1E的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,﹣ ,﹣a),
∵二面角AB1EA1的大小为30°,
∴|cos< >|=cos 30°,即 = = ,
解得a=2,即AB的长为2.
【解析】(1)以A为原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明B1E⊥AD1 . (2)求出平面A1B1E的一个法向量和平面AB1E的法向量,由二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,利用向量法能求出AB的长
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