Question

16．在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是$\widehat{AB}$上的一个动点，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值是2．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$，则$\frac{1}{2}$≤a≤1，从而可得$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$=ax$\overrightarrow{OA}$+ay$\overrightarrow{OB}$，从而可得ax+ay=1，从而利用基本不等式求最小值即可．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$，则$\frac{1}{2}$≤a≤1，
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$=a$\overrightarrow{OP}$=ax$\overrightarrow{OA}$+ay$\overrightarrow{OB}$，
∵A，Q，B三点共线，
∴ax+ay=1，
故$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{ax+ay}{x}$+$\frac{ax+ay}{y}$
=a（2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$）
≥4a，
（当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{x}{y}$，即x=y=$\frac{1}{2}$时，等号成立），
此时a=$\frac{1}{2}$；4a=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了基本不等式的应用及平面向量的应用．