Question

4．若实数a≥0，b≥1且$\frac{{{4^a}+{4^b}}}{{{2^{a+1}}+{2^{b+2}}-1}}=1$，则2^a+2^b+1的取值范围为[7，9]．

Answer 1

分析 由已知得（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，从而得到1≤b≤2，由此能求出2^a+2^b+1的取值范围．

解答 解：∵实数a≥0，b≥1且$\frac{{{4^a}+{4^b}}}{{{2^{a+1}}+{2^{b+2}}-1}}=1$，
∴（2^a）²+（2^b）²=2×2^a+4×2^b-1，
∴（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，
∴4-2^b≥0，
解得1≤b≤2，∴4≤2^b+1≤8，
∵（2^a-1）²=2^b（4-2^b）≥0，
∴b=1时，2^a=3，2^a+2^b+1=7，
b=2时，2^a=1，2^a+2^b+1=9，
∴7≤2^a+2^b+1≤9，
∴2^a+2^b+1的取值范围为[7，9]．
故答案为：[7，9]．

点评 本题考查有理数指数幂代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算法则的合理运用．