Question

11．设F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（第一象限内），使得$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{PQ}$，则双曲线离心率的取值范围为（1，4]．

Answer 1

分析 设出双曲线的右焦点，一条渐近线，以及右顶点，求出FP的最小值，即有3a不大于c-a，再由离心率公式计算即可得到．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点F（c，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
右顶点为P′（a，0），
由|FP|≥|FP′|=c-a，
当P与P′重合，Q与O重合，则有|OP′|=a，
则3a≥c-a，即为c≤4a，
即有e=$\frac{c}{a}$≤4，
由于e＞1，则1＜e≤4．
故答案为：（1，4]．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的点到焦点的距离的最小值，考查离心率的求法，属于基础题．