Question

8．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值$\frac{7}{4}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-（2t-3）x在[0，1]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：函数图象的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），设出顶点式方程，将点（0，4）代入可得，函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）分类讨论，函数h（x）在[0，1]上的单调性，进而得到各种情况下函数h（x）在[0，1]上的最小值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），且有最小值$\frac{7}{4}$．
∴函数图象的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），
设f（x）=a（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵函数f（x）的图象过点（0，4），
∴a（-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=4，
∴a=1，
∴f（x）=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=x²-3x+4，
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，
当t＜0时，函数h（x）在[0，1]上为增函数，当x=0时，函数h（x）的最小值g（t）=4；
当0≤t≤1时，函数h（x）在[0，t]上为减函数，在[t，1]上为增函数，当x=t时，函数h（x）的最小值g（t）=-t²+4；
当t＞1时，函数h（x）在[0，1]上为减函数，当x=1时，函数h（x）的最小值g（t）=5-3t；
综上所述，值g（t）=$\left\{\begin{array}{l}4，t＜0\\{-t}^{2}+4，0≤t≤1\\ 5-2t，t＞1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．