Question

【题目】已知函数f（x）= 为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；
（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴ =﹣ ，

解得：m=1

（2）证明：f（x）=1+ ，

设0＜x1＜x2，

∵f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

又1＜2x1＜2x2，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，

∴ ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在（0，+∞）递减

（3）解：∵f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，

∴a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，

∵f（x）在（0，+∞）递减，

∴f（x）在[1，3]递减，

∴f（x）的最大值是f（1）=3，

∴﹣f（x）的最小值是﹣3，

∴a＜﹣3

【解析】（1）根据函数的奇偶性求出m的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．