Question

【题目】已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且， ．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足， .①求数列的通项公式；②是否存在正整数， （），使得， ， 成等差数列？若存在，求出， 的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ①；②存在正整数， ，使得， ， 成等差数列.

【解析】试题分析：（1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）①把数列的通项公式代入，然后裂项，累加后即可求得数列的通项公式；②假设存在正整数， （），使得， ， 成等差数列，则，由此列关于的方程，求解得答案.

试题解析：（1）设数列的公差为，则．

由， ，得解得或（舍去）．

所以．

（2）①因为， ，所以，

，

即， ，…， ，（ ）

累加得，所以，

也符合上式，故， ．

②假设存在正整数、（），使得， ， 成等差数列，则．

又， ， ，

所以 ，即，

化简得： ，

当，即时， （舍去）；

当，即时， 符合题意．

所以存在正整数， ，使得， ， 成等差数列．