题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在处取得最大值,求实数的值;
(2)若,求在区间上的最大值;
(3)若,直线都不是曲线的切线,求的取值范围(只需直接写出结果).
【答案】(1);(2)当或时,取得最大值;当时,取得最大值;当时,在,处都取得最大值0;当时,在取得最大值.
(3)
【解析】
(1)求导数,确定函数的单调性,利用在处取得极大值,可求实数的值;
(2)分类讨论,确定函数在区间上的单调性,从而可求函数的最大值.
(3)求导数,根据,直线都不是曲线的切线,可得对成立,即使的最小值大于;
解:(1)
令,得,
所以,随的变化情况如下表:
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
因为在处取得极大值,所以
(2)因为,所以,
当时,对成立,所以当时,取得最大值
当时,在时,,单调递增,在时,,单调递减,所以当时,取得最大值
当时,在时,,单调递减,所以当时,取得最大值
当时,在时,,单调递减,在时,,单调递增,又,
当时,在取得最大值
当时,在取得最大值
当时,在,处都取得最大值0.
综上所述,当或时,取得最大值;当时,取得最大值;当时,在,处都取得最大值0;当时,在取得最大值.
(3)求导数可得
因为,直线都不是曲线的切线,所以对成立
所以只要的最小值大于,所以
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