题目内容
【题目】已知函数,其中函数
,
.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)当时,求函数
在
上的最大值;
(3)当时,对于给定的正整数
,问:函数
是否有零点?请说明理由.(参考数据
,
,
,
)
【答案】(1);(2)
;(3)当
时,函数
无零点;当
时,函数
有零点,理由见解析.
【解析】
(1)由导数可得切线斜率,进而由点斜式即可得切线方程;
(2)先求得,可得
或
,再比较
和
的大小,利用函数单调性可得最大值;
(3)先证明,函数
无零点,构造
,
,利用
可证得,
,函数
有零点,利用零点存在性定理即可证得.
(1),故
,
,∴切线方程为
,即
.
(2),
,可得
或
.
①,即
时,
在
上递减,在
上递增,
∴;
②,即
时,
在
上递增,
递减,在
上递增,
∴;
综上所述,;
(3),函数
无零点,
,函数
有零点.
理由如下:
时,证明
即可,即证明
.
令,
,
而,
令,解得:
,令
,解得:
,
∴,
,
令,解得:
,
令,解得:
,
故,
∴,
故命题得证.
当时,
,
,
,
所以,函数
有零点.
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