Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为.

（1）求的方程；

（2）如图，经过椭圆左顶点且斜率为的直线与交于两点，交轴于点，点为线段的中点，若点关于轴的对称点为，过点作（为坐标原点）垂直的直线交直线于点，且面积为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，短轴长为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，可得直线方程，与直线的方程联立求得点，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得，从而可得结果.

（1）由题意，知.

解得.

椭圆的方程为.

（2）易知，椭圆的左顶点，

设直线的方程为，则.

由消去并整理，得.

设，

.

，.

，，

，直线的斜率为.

直线方程为，直线的方程为.

点.

点到直线的距离为.

.

.

.

，，解得.