题目内容
【题目】如图,正方体的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱
上的动点.
(1)点Q在何位置时,直线,DC,AP交于一点,并说明理由;
(2)求三棱锥的体积;
(3)棱上是否存在动点Q,使得
与平面
所成角的正弦值为
,若存在指出点Q在棱
上的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当Q是中点时,直线
,DC,AP交于一点,理由详见解析;(2)
;(3)存在点Q,且点Q为
的中点.
【解析】
(1)画出辅助线延长AP交DC于M,连结交
于点Q,利用相似三角形证明即可.
(2)换顶点求解三棱锥的体积即可.
(3)以D为原点建立合适的空间直角坐标系,设,再利用线面夹角的向量解法求出
即可.
解:(1)当Q是中点时,直线
,DC,AP交于一点.
理由如下:延长AP交DC于M,连结交
于点Q,
∵,∴
,
∴.
∵,
∴,∴
.
∴Q是中点.
(2)V棱锥棱锥
.
(3)以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系
则,
,
,
,
,
,
设面的法向量为
,则
取,
,
即
设与面
所成角为
则
化简得
解得或
(舍去)
所以存在点Q,且点Q为的中点
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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