Question

【题目】在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，△AOB的面积为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过P（，0）的直线与C相交于M，N两点，且2，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）或．

【解析】

（1）先得出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，求出交点A、B的坐标，可求出|AB|，然后利用三角形的面积公式可求出p的值，即可求出抛物线的方程；

（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，并列出韦达定理，由得出y1＝2y2，并将此关系式代入韦达定理，可求出m的值，即可得出直线l的方程．

（1）易知直线AB的方程为，将该直线方程代入抛物线C的方程得，∴、，且|AB|＝2p，

∴△AOB的面积为，∵p＞0，解得p＝2．

因此，抛物线C的方程为y2＝4x；

（2）设直线MN的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），y2﹣4my+4＝0

△＝16m2﹣16＞0，解得m＜﹣1或m＞1．

，，∵，∴y1＝2y2，

由韦达定理得y1+y2＝3y2＝4m，则，

，得，

因此，直线l的方程为，即或．