已知数列{an}中.a1=t.a2=t2.且当x=t时.函数f(x)=$\frac{1}{2}$(an-an-1)x2-(an+1-an)x(n≥2.n∈N*)取得极值．(1)求证:数列{an+1-an}是等比数列,(2)求数列{an]的通项公式,(3)当t=-$\sqrt{\frac{7}{10}}$时.若bn=anln|an|.数列{bn}中是否存在最大项?如果存在.说明是第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知数列{a_n}中，a₁=t（t≠0且t≠1），a₂=t²，且当x=t时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2，n∈N^*）取得极值．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n]的通项公式；
（3）当t=-$\sqrt{\frac{7}{10}}$时，若b_n=a_nln|a_n|，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，说明理由．

分析（1）根据当x=t时，f（x）=$\frac{1}{2}$（a_n-a_n-1）x²-（a_n+1-a_n）x（n≥2）取得极值，求导，得到f'（t）=0，即a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2）整理可证；
（2）通过（1）、利用累加法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（3）根据（2）去绝对值符号可求数列{b_n}的通项公式，对n分奇偶讨论即得结论．

解答（1）证明：令f′（t）=（a_n-a_n-1）t-（a_n+1-a_n）=0，
得：（a_n-a_n-1）t=a_n+1-a_n（n≥2），
又a₂-a₁=t（t-1），t≠0且t≠1，
∴a₂-a₁≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=t，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为t²-t、公比为t的等比数列；
（2）解：由（1）知a_n+1-a_n=tⁿ⁺¹-tⁿ，
∴a_n-a_n-1=tⁿ-t^n-1，
∴a_n-1-a_n-2=t^n-1-t^n-2，
…
a₂-a₁=t²-t，
上面n-1个等式相加并整理得：a_n=tⁿ（t≠0且t≠1）；
（3）结论：数列{b_n}中的最大项为第5项．
理由如下：
由（2）知b_n=a_nln|a_n|=tⁿ•ln|tⁿ|=ntⁿ•ln|t|．
∵t=-$\sqrt{\frac{7}{10}}$，∴-1＜t＜0，
∵当n为偶数时b_n＞0，当n为奇数时b_n＜0，
∴最大项必须为奇数项，
设最大项为：b_2k+1，则$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2k+1}≥{b}_{2k-1}}\\{{b}_{2k+1}≥{b}_{2k+3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2k+1）•{t}^{2k+1}•ln|t|≥（2k-1）•{2}^{2k-1}•ln|t|}\\{（2k+1）•{t}^{2k+1}•ln|t|≥（2k+3）•{t}^{2k+3}•ln|t|}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{（2k+1）•{t}^{2}≥2k-1}\\{2k+1≥（2k+3）•{t}^{2}}\end{array}\right.$，
将t=-$\sqrt{\frac{7}{10}}$代入上式，解得：$\frac{11}{6}$≤k≤$\frac{17}{6}$，
∴k=2，即数列{b_n}中的最大项为第5项．