题目内容

在直角坐标系中，O为坐标原点，设过点P(3，
2
)的直线l，与x轴交于点F（2，0），如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．
（1）设所求椭圆方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
∵点P(3，
2
)在椭圆上，且F（2，0）是椭圆的一个焦点，
∴
a2=b2+4
9
a2
+
2
b2
=1
，解得
a2=12
b2=8
，
∴此椭圆的标准方程为：
x2
12
+
y2
8
=1；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），AB的中点为M（x，y），
则可得
x12
12
+
y12
8
=1
x22
12
+
y22
8
=1
，两式相减，整理得：
1
12
(x12-x22)=-
1
8
(y12-y22)．
①当x1≠x2时，可得
y1-y2
x1-x2
=-
8(x1+x2)
12(y1+y2)
=-
2
3
?
2x
2y
=-
2
3
?
x
y
；
又∵kAB=kMF=
y-0
x-2
，
∴-
2
3
?
x
y
=
y-0
x-2
，整理得2x2+3y2-4x=0；
②当x1=x2时，AB中点为M（2，0），也满足上述方程．
综上所述，动点M的轨迹方程为：2x2+3y2-4x=0．
练习册系列答案
相关题目
求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线
y2
2
-x2=1的顶点为焦点，离心率e=
2
2
的椭圆
（2）准线为x=
4
3
，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线．
设F1，F2是椭圆E：
x2
a2
+2y2=1（a＞
2
2
）的左右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列
（1）求|AB|；
（2）若直线l的斜率为1，求椭圆E的方程．
（1）双曲线与椭圆
x2
27
+
y2
36
=1有相同焦点，且经过点（
15
，4），求其方程．
（2）椭圆过两点（
6
，1），（-
3
，-
2
），求其方程．
设椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过，M（2，
2
），N（
6
，1）两点，求椭圆E的方程．
已知椭圆C的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为（2，0），离心率为
3
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F1，F2为椭圆C的焦点，P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
的椭圆经过点（
6
，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（0，
1
3
]		B．（
1
2
，
2
3
）		C．[
1
3
，1）		D．[
1
3
，
2
3
）

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