题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
的椭圆经过点（
6
，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1，l2分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，经过点（
6
，1），
∴e=
c
a
=
2
2
?
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
2
①，
(
6
)2
a2
+
12
b2
=1②，
由①②解得a2=8，b2=4，
∴该椭圆的标准方程为：
x2
8
+
y2
4
=1；
（2）∵椭圆
x2
8
+
y2
4
=1的左焦点F1（-2，0）；
设过其左焦点F1的直线AB的方程为：y=k1（x+2），k1≠0
由方程组
y=k1(x+2)
x2
8
+
y2
4
=1
得（2k12+1）x2+8k12x+8k12-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
-8k12
2k12+1
，x1•x2=
8k12-8
2k12+1

由弦长公式得|AB|=
1+k12
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
2
(k12+1)
2k12+1
，
同理设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=
1+k22
•
(x3+x4)2-4x3x4
=
4
2
(k22+1)
2k22+1
，，
由（1）k1•k2=-1得k2=-
1
k1
，代入得|CD|=
4
2
(k12+1)
k12+2
，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
|AB|+|CD|
|AB|•|CD|
=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3
4
2
=
3
2
8
，则存在λ=
3
2
8
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
练习册系列答案
相关题目
方程
(x-2)2+y2
+
(x+2)2+y2
=10化简结果是（　　）
A．
x2
25
+
y2
16
=1		B．
x2
25
+
y2
21
=1
C．
x2
25
+
y2
4
=1		D．
y2
25
+
x2
21
=1
在直角坐标系中，O为坐标原点，设过点P(3，
2
)的直线l，与x轴交于点F（2，0），如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点．
（1）求此椭圆的标准方程；
（2）在（1）中求过点F（2，0）的弦AB的中点M的轨迹方程．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的交点到两焦点的距离分别是3和1，则椭圆的标准方程是______．
过点（-3，2）且与
x2
9
+
y2
4
=1有相同焦点的椭圆的方程是（　　）
A．
x2
15
+
y2
10
=1		B．
x2
225
+
y2
100
=1
C．
x2
10
+
y2
15
=1		D．
x2
100
+
y2
225
=1
椭圆
x2
m2+12
+
y2
m2-4
=1(m＜-2，或m＞2)的焦距是（　　）
A．4B．2
2
C．8D．与m有关
已知θ为斜三角形的一个内角，曲线F：x2sin2θcos2θ+y2sin2θ=cos2θ是（　　）
A．焦点在x轴上，离心率为sinθ的双曲线
B．焦点在x轴上，离心率为sinθ的椭圆
C．焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的双曲线
D．焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的椭圆
设m是正实数．若椭圆
x2
m2+16
+
y2
9
=1的焦距为8，则m=______．
若M，N是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，P是椭圆C上任意一点．若直线PM、PN斜率存在，则它们斜率之积为（　　）
A．
a2
b2
B．-
a2
b2
C．
b2
a2
D．-
b2
a2

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