题目内容

设F1,F2是椭圆E:
x2
a2
+2y2=1
a>
2
2
)的左右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求椭圆E的方程.
(1)由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,
得2|AB|=|AF2|+|BF2|,由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a.
所以3|AB|=4a,|AB|=
4
3
a

(2)由题意设直线l的方程为y=x+c.
联立
y=x+c
x2
a2
+2y2=1
,得(2a2+1)x2+4a2cx+2a2c2-a2=0
x1+x2=
-4a2c
2a2+1
x1x2=
2a2c2-a2
2a2+1

所以|AB|=
2
(x1+x2)2-4x1x2

=
2
(-
4a2c
2a2+1
)2-4•
2a2c2-a2
2a2+1

=
2
-8a2c2+8a4+4a2
(2a2+1)2
=
4a
3

解得:a2=2.
代入△满足△>0成立.
所以椭圆方程为
x2
2
+2y2=1
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