题目内容
设F1,F2是椭圆E:
+2y2=1(a>
)的左右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求椭圆E的方程.
x2 |
a2 |
| ||
2 |
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求椭圆E的方程.
(1)由|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,
得2|AB|=|AF2|+|BF2|,由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a.
所以3|AB|=4a,|AB|=
a;
(2)由题意设直线l的方程为y=x+c.
联立
,得(2a2+1)x2+4a2cx+2a2c2-a2=0
则x1+x2=
,x1x2=
.
所以|AB|=
=
=
=
.
解得:a2=2.
代入△满足△>0成立.
所以椭圆方程为
+2y2=1.
得2|AB|=|AF2|+|BF2|,由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a.
所以3|AB|=4a,|AB|=
4 |
3 |
(2)由题意设直线l的方程为y=x+c.
联立
|
则x1+x2=
-4a2c |
2a2+1 |
2a2c2-a2 |
2a2+1 |
所以|AB|=
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
=
2 |
(-
|
=
2 |
|
4a |
3 |
解得:a2=2.
代入△满足△>0成立.
所以椭圆方程为
x2 |
2 |
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