Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3}{2}{n^2$+$\frac{1}{2}n$，递增的等比数列{b_n}满足b₁+b₄=18，b₂b₃=32，
（1）求a_n，b_n的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列c_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得a_n，利用等比数列的通项公式及其性质可得b_n；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}{n^2$+$\frac{1}{2}n$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{n^2$+$\frac{1}{2}n$-$[\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$=3n-1，当n=1时也成立，
∴a_n=3n-1．
设递增的等比数列{b_n}的公比为q，
∵b₁+b₄=18，b₂b₃=32，
∴b₁+b₄=18，b₁b₄=32，解得b₁=2，b₄=16，16=2×q³，解得q=2，
∴${b}_{n}={2}^{n}$．
（2）c_n=a_nb_n=（3n-1）•2ⁿ，
∴数列c_n的前n项和T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=4+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹=$3×\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（3n-1）×2ⁿ⁺¹=（4-3n）×2ⁿ⁺¹-8，
∴T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．

点评 本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．