Question

6．函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{4}或\frac{5}{4}$
• D． $\frac{3}{4}或\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，结合已知和指数函数的单调性，构造方程，解得答案．

解答 解：当a＞1时，函数f（x）=a^x为增函数，
又∵函数f（x）=a^x在区间[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，
∴a²-a=$\frac{a}{4}$，
解得：a=$\frac{5}{4}$，或a=0（舍去），
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x为减函数，
又∵函数f（x）=a^x在区间[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{a}{4}$，
∴a-a²=$\frac{a}{4}$，
解得：a=$\frac{3}{4}$，或a=0（舍去），
综上所述，实数a的值为$\frac{3}{4}或\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识是指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．