Question

对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。

Answer 1

(1) 证明略(2) f(x)=0的四根之和为8

 设(x₀,y₀)是函数y=f(x)图像上任一点，则y₀=f(x₀),
∵=a,　∴点(x₀,y₀)与(2a－x₀,y₀)关于直线x=a对称，
又f(a+x)=f(a－x),
∴f(2a－x₀)=f［a+(a－x₀)］=f［a－(a－x₀)］=f(x₀)=y₀,
∴(2a－x₀,y₀)也在函数的图像上，
故y=f(x)的图像关于直线x=a对称.
(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，
若x₀是f(x)=0的根，则4－x₀也是f(x)=0的根，
若x₁是f(x)=0的根，则4－x₁也是f(x)=0的根，
∴x₀+(4－x₀)+ x₁+(4－x₁)=8
即f(x)=0的四根之和为8.