Question

根据长沙市建设大河西的规划，市旅游局拟在咸嘉湖建立西湖生态文化公园。如图，设计方案中利用湖中半岛上建一条长为的观光带AB，同时建一条连接观光带和湖岸的长为2的观光游廊BC，且BC与湖岸MN（湖岸可看作是直线）的夹角为60°，BA与BC的夹角为150°，并在湖岸上的D处建一个观光亭，设CD＝xkm(1＜x＜4)。
（Ⅰ）用x分别表示tan∠BDC和tan∠ADM；
（Ⅱ）试确定观光亭D的位置，使得在观光亭D处观赏观光带AB的视觉效果最佳。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）

（Ⅰ）设湖岸线为l，过点A、B分别作的垂线，垂足为E、F，延长AB交于点G。

因为BC＝2，∠BCF＝60°，则，，
因为CD＝x＞1，则DF＝CD－CF＝x－1，
所以。                                   （3分）
因为∠ABC＝150°，则∠CBG＝30°，又∠BCF＝60°，
则∠BGC＝30°，所以。
因为AB＝，则AG＝AB＋BG＝，
所以AE＝AGsin30°＝，GE＝AGcos30°＝6。
又GC＝BC＝2，则CE＝GE－GC＝4，因为CD＝x＜4，则DE＝CE－CD＝4－x，
所以。                                  （7分）
（Ⅱ）设∠ADB＝θ，则

()。                                            （9分）
令x＋2＝t，则。
因为，则，当且仅当，即时取等号.所以当，即时，tanθ取最大值。
又θ为锐角，则当时θ取最大值。                                 （12分）
故当观光亭D建在距离C点时，在D处观赏观光带AB的视觉效果最佳。（13分）