Question

8．已知二次方程x²+2（m-1）x+2m+6=0至少有一个正根，则实数m的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 先求出判别式，根据题意分类讨论，求得实数m的取值范围．

解答 解：二次方程x²+2（m-1）x+2m+6=0的判别式△=4（m-1）²-4（2m+6）=（m-5）（m+1），
当m=-1，二次方程即 x² -4x+4=0，有一个正根x=2，满足条件．
当m=5，二次方程即 x² +8x+16=0，有一个负根x=-4，不满足条件．
根据方程有2个不相等的实数根，则△＞0，求得m＜-1或 m＞5．
若方程有一个正根和一个零根，则2m+6=0，求得 m=-3；
若方程有一个正根和一个负根，则2m+6＜0，求得 m＜-3；
若方程有两个正根，则-2（m-1）＞0 且2m+6＞0，求得-3＜m＜1．
综上可得，m≤-1，
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．