题目内容
【题目】已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且
=e1+2e2-e3,
=-3e1+e2+2e3,
=e1+e2-e3,试判断{
}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量
=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
【答案】能，
=17
-5
-30
。
【解析】
(1)假设
共面,则=x+y成立，
解方程组得方程组没有解，所以不共面,所以能作为空间的一个基底.(2) 设=p+q+z,解方程组求出p,q,z得解.
能作为空间的一组基底。
假设共面,由向量共面的充要条件知存在实数x,y使=x+y成立
又因为
是空间的一个基底,
所以
不共面.
因此
此方程组无解,
即不存在实数x,y使=x+y,
所以不共面.
故{}能作为空间的一个基底.
设=p+q+z,
则有
因为为空间的一个基底,
所以
解得
故=17-5-30.
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